Jean le Rond d'Alembert .
El criterio del cociente o criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de esta.
Definiendo con
n
{\displaystyle n}
a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos respectivamente
lim sup
{\displaystyle \limsup }
y
lim inf
{\displaystyle \liminf }
a los límites superior e inferior de la sucesión
A
n
+
1
A
n
{\displaystyle \textstyle {A_{n+1} \over A_{n}}}
se obtienen cada uno de los siguientes casos:
Si
lim sup
<
1
,
A
n
{\displaystyle \limsup <1,\ A_{n}}
converge.
Si
lim inf
>
1
,
A
n
{\displaystyle \liminf >1,\ A_{n}}
diverge.
Si
lim inf
≤
1
≤
lim sup
{\displaystyle \liminf \leq 1\leq \limsup }
, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.
En el caso particular de que dicha sucesión sea convergente tendremos entonces que
lim inf
=
lim sup
=
L
{\displaystyle \liminf =\limsup =L}
, siendo
L
{\displaystyle L}
el límite de la sucesión, por lo que el estudio se puede simplificar a los siguientes casos:
Si
L
<
1
,
A
n
{\displaystyle L<1,\ A_{n}}
converge.
Si
L
>
1
,
A
n
{\displaystyle L>1,\ A_{n}}
diverge.
Si
L
=
1
{\displaystyle L=1}
, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.
Formalización del método [ editar ]
El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:
Sea:
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)}
Tal que:
f
(
n
)
>
0
{\displaystyle f(n)>0}
(o sea una sucesión de términos positivos) y
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
tienda a cero cuando
n
{\displaystyle n}
tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)
Se procede de la siguiente manera:
De las dos condiciones anteriores tenemos que la sucesión
f
(
n
+
1
)
f
(
n
)
{\displaystyle \textstyle {\frac {f(n+1)}{f(n)}}}
está acotada
1) Si además de acotada, dicha sucesión es convergente calculamos:
lim
n
→
∞
f
(
n
+
1
)
f
(
n
)
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=L}
Así obtenemos
L
{\displaystyle L}
y se clasifica de la siguiente manera:
L
<
1
{\displaystyle L<1}
la serie converge
L
>
1
{\displaystyle L>1}
la serie diverge
L
=
1
{\displaystyle L=1}
el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio.
2) Si la sucesión
f
(
n
+
1
)
f
(
n
)
{\displaystyle {\frac {f(n+1)}{f(n)}}}
no es convergente, como sucesión acotada que es, tendrá límites superior e inferior finitos.
Ahora bien habrá que calcularlos y proceder a aplicar el criterio más general:
lim sup
n
→
∞
f
(
n
+
1
)
f
(
n
)
=
lim sup
{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=\limsup }
lim inf
n
→
∞
f
(
n
+
1
)
f
(
n
)
=
lim inf
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=\liminf }
Con
lim sup
{\displaystyle \limsup }
y
lim inf
{\displaystyle \liminf }
se clasifica de la siguiente manera:
Si
lim sup
<
1
{\displaystyle \limsup <1}
, la serie converge.
Si
lim inf
>
1
{\displaystyle \liminf >1}
, la serie diverge.
Si
lim inf
≤
1
≤
lim sup
{\displaystyle \liminf \leq 1\leq \limsup }
, el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio.
Si
f
(
n
)
=
n
+
1
n
!
{\displaystyle f(n)={\frac {n+1}{n!}}}
, clasificar
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}
.
a)
f
(
n
)
=
n
+
1
n
!
>
0
{\displaystyle f(n)={\frac {n+1}{n!}}>0}
b)
n
+
1
n
!
{\displaystyle {\frac {n+1}{n!}}}
tiende a cero conforme crece
n
{\displaystyle n}
(porque el factorial crece más rápidamente que n +1)
L
=
lim
n
→
∞
f
(
n
+
1
)
f
(
n
)
=
lim
n
→
∞
n
+
2
(
n
+
1
)
!
n
+
1
n
!
=
lim
n
→
∞
n
+
2
(
n
+
1
)
!
n
!
(
n
+
1
)
=
lim
n
→
∞
(
n
+
2
)
(
n
+
1
)
2
=
lim
n
→
∞
(
n
+
1
)
+
1
(
n
+
1
)
2
=
lim
n
→
∞
(
1
n
+
1
+
1
(
n
+
1
)
2
)
=
0
{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n+1}{n!}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n!}{(n+1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+2)}{(n+1)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)+1}{(n+1)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)=0}
y como
L
<
1
{\displaystyle L<1}
, la serie
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}
converge.
Véase también [ editar ]
Enlaces externos [ editar ]